Monty Hall 问题中的两次选择并不是独立事件。
Monty Hall 问题可以描述为:有3扇门,其中2扇门后面是羊,1扇门后面是汽车。玩家先选择一扇门,主持人会打开其余不选的门中隐藏羊的一扇门,然后问玩家要不要换门。
这里的关键在于,主持人打开的门不是随机的。主持人知道每扇门后面是什么,他会刻意打开一扇羊的门。这就引入了信息,改变了问题。
如果两次选择是独立的,那么无论换不换门,中奖概率都是1/2。
但由于主持人的提示, situation 已经变了。如果玩家换门,赢得汽车的概率是2/3,如果不换就是1/3。
举个例子,假设玩家最初选的是门1,主持人会打开门2或门3中一扇。
如果门1后面是汽车,主持人会随机打开门2或门3。这种情况下不换门则中奖，概率是1/3。
如果门1后面是羊,主持人会打开另一扇羊的门。这种情况下换门则中奖，概率是2/3。
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信息量的改变,导致了两次选择不再是独立的。换门可以提高中奖概率,这就是Monty Hall问题的关键所在。
如果扩展到100扇门,道理是一样的。主持人提示并打开许多空门,仍然会改变信息量,从而影响第二次选择。
[1] @halomaster • 15 Apr 2023, 16:46 GMT
容易忽略的点：
主持人一定会开一扇空门。
所以，这一定给系统注入了新的信息。
而信息的引入改变了概率。
[2] @halomaster • 15 Apr 2023, 16:58 GMT
从三门拓展到N门问题，从量子理论的角度理解，玩家选一扇门以后，剩下的所有的门有车的概率之和不变，还是 (N-1)/N，但是主持人打开的空门越多，除了玩家选的那扇门以外的没有开的门均摊 (N-1)/N.
[3] @halomaster • 15 Apr 2023, 17:14 GMT
游戏规则隐含两点：
主持人不能开玩家选的门;
主持人不能开有车的门;
所以，玩家选的门 和 剩下的门 是两个 概率域，其概率的分配在两个域间恒定。
因为，主持人不能打开玩家的门，也不能开有车的门，就决定了上面的概率域划分。
那么，当然是选择分配概率高的概率域。
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